Губка Менгера

5 итераций

На 6-й итерации

Губка Менгера после четырёх итераций

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

Построение

Итеративный метод

Куб ${\displaystyle C_{0}}$ с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба ${\displaystyle C_{0}}$ удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество ${\displaystyle C_{1}}$, состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество ${\displaystyle C_{2}}$, состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

${\displaystyle C_{0}\supset C_{1}\supset \dots \supset C_{n}\supset \dots }$,

пересечение членов которой есть губка Менгера.

Игра в хаос

Губка Менгера может быть также получена при помощи процесса, называемого игрой в хаос^[en][1][2], который заключается в следующем:

1. Задаются 20 точек-аттракторов: 8 вершин и 12 середин рёбер исходного куба.
2. Задаётся некоторая начальная точка ${\displaystyle P_{0}}$, лежащая внутри куба.
3. Строится последовательность точек в следующем цикле:
   1. Случайно выбирается аттрактор ${\displaystyle A}$ из 20 возможных с равной вероятностью.
   2. Строится точка ${\displaystyle P_{i}}$ с новыми координатами: ${\displaystyle x_{i}={\frac {x_{i-1}+2x_{A}}{3}};y_{i}={\frac {y_{i-1}+2y_{A}}{3}};z_{i}={\frac {z_{i-1}+2z_{A}}{3}}}$, где: ${\displaystyle x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1}}$ — координаты предыдущей точки ${\displaystyle P_{i-1}}$; ${\displaystyle x_{A},y_{A},z_{A}}$ — координаты выбранного аттрактора.

Если выполнять цикл достаточно много раз (не менее 100 тысяч) и потом отбросить первые несколько десятков точек, то оставшиеся точки будут образовывать фигуру близкую к губке Менгера.

Свойства

Губка Менгера в разрезе

• Губка Менгера состоит из 20 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3.
• Ортогональные проекции губки Менгера представляют собой ковёр Серпинского.
• Губка Менгера имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность, которая равна ${\displaystyle \ln 20/\ln 3\approx 2,73}$ поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3.
• Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того
  • Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (то есть для любой связной окрестности ${\displaystyle U}$ любой точки ${\displaystyle x\in M}$ множество ${\displaystyle U\backslash x}$ связно) и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
• Губка Менгера является универсальной кривой Урысона, то есть какова бы ни была кривая Урысона ${\displaystyle C}$, в губке Менгера найдется подмножество ${\displaystyle C'}$, гомеоморфное ${\displaystyle C}$.
• Губка Менгера имеет нулевой объём, но бесконечную площадь граней. Объём определяется формулой 20/27 на каждую итерацию.
• Сечение губки Менгера, ограниченной кубом со стороной 1 и центром в начале координат, плоскостью ${\displaystyle x+y+z=0}$ содержит гексаграммы.

См. также

• Теория хаоса
• Система итерируемых функций^[en]

Примечания

Ссылки

Имеется викиучебник по теме
«Губка Менгера»

• Обобщённый алгоритм построения фракталов методом хаоса на ресурсе Wolfram
• Код для построения фракталов методом хаоса на языке AutoLISP