Дискриминант

Дискримина́нт многочлена ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}}$, ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$, есть произведение

${\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$,

где ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена^[⇨], знак которого определяет количество действительных корней.

Свойства

• Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
• Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
• ${\displaystyle D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p')}$, где ${\displaystyle R(p,p')}$ — результант многочлена ${\displaystyle p(x)}$ и его производной ${\displaystyle p'(x)}$.
  • В частности, дискриминант многочлена

${\displaystyle p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$

равен, с точностью до знака, определителю следующей ${\displaystyle (2n-1)\times (2n-1)}$-матрицы:

Примеры

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степени

Дискриминант квадратного трёхчлена ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ равен ${\displaystyle D=b^{2}-4ac.}$

• При ${\displaystyle D>0}$ вещественных корней — два, и они вычисляются по формуле

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$.

• При ${\displaystyle D=0}$ корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

${\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}}$.

• При ${\displaystyle D<0}$ вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}}$.

Многочлен третьей степени

Дискриминант кубического многочлена ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ равен

${\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.}$

В частности, дискриминант кубического многочлена ${\displaystyle x^{3}+px+q}$ (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен ${\displaystyle -27q^{2}-4p^{3}}$.

• При ${\displaystyle D>0}$ кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
• При ${\displaystyle D=0}$ он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
• При ${\displaystyle D<0}$ кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).

Многочлен четвертой степени

Дискриминант многочлена четвертой степени ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$ равен

${\displaystyle {\begin{aligned}&D=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}}$

Для многочлена ${\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s}$ дискриминант имеет вид

${\displaystyle D=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^{3}r^{2}}$

и равенство ${\displaystyle D=0}$ определяет в пространстве ${\displaystyle (q,r,s)}$ поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

• При ${\displaystyle D<0}$ многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
• При ${\displaystyle D>0}$ многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.

А именно, для многочлена ${\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s}$:^[1]

• если ${\displaystyle q\geq 0}$, то все корни комплексные,
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s>{\frac {q^{2}}{4}}}$, то все корни комплексные,
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s<{\frac {q^{2}}{4}}}$, то все корни вещественные.

• При ${\displaystyle D=0}$ многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряженных кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.

Точнее:^[1]

• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s>{\frac {q^{2}}{4}}}$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle -{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}}$, то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2,
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}}$, то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2,
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s=-{\frac {q^{2}}{12}}}$, то два вещественных корня, один из которых кратности 3,
• если ${\displaystyle q>0}$, ${\displaystyle s>0}$ и ${\displaystyle r\neq 0}$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
• если ${\displaystyle q>0}$, ${\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}}$ и ${\displaystyle r=0}$, то одна пара комплексно сопряженных корней кратности 2,
• если ${\displaystyle q>0}$ и ${\displaystyle s=0}$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
• если ${\displaystyle q=0}$ и ${\displaystyle s>0}$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
• если ${\displaystyle q=0}$ и ${\displaystyle s=0}$, то один вещественный корень кратности 4.

История

Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр^[2].

См. также

• Результант

Литература

• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.

Примечания