Длина кривой

Приближение длины дуги эллипса с помощью ломаных

Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) — числовая характеристика протяжённости этой кривой^[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление).

Определение

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.

Например, для непрерывной кривой ${\displaystyle \gamma }$ в трёхмерном пространстве, заданной параметрически:

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)}$

(1)

Приближение кривой ломаными

где ${\displaystyle a\leqslant t\leqslant b}$, всевозможные разбиения интервала значений параметра ${\displaystyle [a,b]}$ на ${\displaystyle m}$ отрезков: ${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{m}=b}$. Соединение точек кривой ${\displaystyle \gamma (t_{0}),\dots ,\gamma (t_{m})}$ отрезками прямых даёт ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных.

Длина дуги циклоиды (s) в зависимости от её параметра (θ)

Связанные определения

• Всякая кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая. (Снежинка Коха — классический пример неспрямляемой кривой.)
• Параметризация кривой длиной дуги называется естественной.
• Кривая есть частный случай функции из отрезка в пространство. Вариация функции, определяемая в математическом анализе, является обобщением длины кривой (см. ниже).

Свойства

• Если все функции в (1) являются функциями ограниченной вариации, то длина кривой существует и конечна.

• В математическом анализе выводится формула для вычисления длины ${\displaystyle s}$ отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2}(t)}}\,dt}$

(2)

Формула подразумевает, что ${\displaystyle a\leqslant b}$ и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.

В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)}}\,dt}$.

Можно также вычислить длину кривой ${\displaystyle \gamma }$ через криволинейный интеграл I рода:

${\displaystyle s=\int \limits _{\gamma }d\gamma }$

• Если плоская кривая задана уравнением ${\displaystyle y=f(x),}$ то её длина равна:

  ${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+{f'}^{2}(x)}}\,dx.}$

В полярных координатах ${\displaystyle (r,\varphi ):}$

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}}}\,d\varphi .}$

• Формула Крофтона позволяет вычислить длину кривой на плоскости как интеграл числа её пересечений с прямыми по естественной мере на пространстве прямых.

История

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямыми и кривыми неизвестно и, даже, думаю, не может быть познано людьми»^[2][3].

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла (1657), выполненное Ферма и самим Нейлом. Вскоре была найдена длина арки циклоиды (Рен, Гюйгенс). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.

Вариации и обобщения

Риманово пространство

В n-мерном римановом пространстве с координатами ${\displaystyle x^{1}\cdots x^{n}}$ кривая задаётся параметрическими уравнениями:

${\displaystyle x^{i}=x^{i}(t)\qquad \qquad }$,

((3))

Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt}$,

где : ${\displaystyle g_{ij}}$ — метрический тензор. Пример: кривая на поверхности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Общее метрическое пространство

В более общем случае произвольного метрического пространства ${\displaystyle (X,\rho )}$ длиной ${\displaystyle S}$ кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ определяется согласно формуле:

${\displaystyle s=\sup \sum \limits _{k=0}^{m}\rho (\gamma (x_{k+1}),\gamma (x_{k})),}$

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{m}=b}$ отрезка ${\displaystyle [a,b]}$.

См. также

• Дифференциальная геометрия кривых
• Объём
• Определённый интеграл
• Площадь
• Дуга окружности
• Кривая Пеано

Примечания

Литература

• Мерзон Г.А., Ященко И.В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.