Задача трёх тел

Приблизительные траектории трёх одинаковых тел, находившихся в вершинах неравнобедренного треугольника и обладавших нулевыми начальными скоростями.
Видно, что центр масс в соответствии с законом сохранения импульса остается на месте.

Задача трёх тел (в астрономии) — одна из задач небесной механики, состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца, Земли и Луны). В отличие от задачи двух тел, в общем случае задача не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Известно лишь несколько точных решений для специальных начальных скоростей и координат объектов.

Математическая формулировка

Общая задача трёх тел в небесной механике описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

${\displaystyle \left.{\begin{array}{c}{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{1}=\gamma m_{2}{\frac {{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}+\gamma m_{3}{\frac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{2}=\gamma m_{1}{\frac {{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}+\gamma m_{3}{\frac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{3}=\gamma m_{1}{\frac {{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}+\gamma m_{2}{\frac {{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}\end{array}}\quad \right\}}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — гравитационная постоянная, ${\displaystyle m_{i}}$ — массы тел, ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}_{i}}$ — радиус-векторы, определяющие их положение, а точка означает производную по времени.

Частные решения

На данный момент известно как минимум 21 частное решение:

• Первые три решения были найдены Эйлером в 1767 году. Они имеют место, когда все три тела находятся на одной прямой. В этом случае имеют место 3 возможных последовательности расположения (третье тело находится между двумя другими, либо слева или справа от обоих). Такое движение называется коллинеарным.

• Ещё два решения нашёл в 1772 году Лагранж. В них треугольник, образованный телами, сохраняется равносторонним, вращаясь в пространстве либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.

В 1892–1899 годах Анри Пуанкаре доказал что существует бесконечно много частных решений задачи трёх тел.

• В 1911 году Уильям Дункан Макмиллан открыл новое частное решение, но без четкого математического обоснования, лишь в 1961 году советский математик Кирилл Александрович Ситников смог найти строгое математическое доказательство для этого случая (см. Проблема Ситникова).

• В середине 1970-х было открыто еще одно семейство орбит Бруке-Хено-Хаджидеметриу.

• В 1993 ещё одно решение, имеющее вид стабильных орбит-«восьмерок» нашёл Мур^[1][2].

Полости Роша для двойной системы (обозначены жёлтым)

• В 2013 году сербские учёные Милован Шуваков (Milovan Šuvakov) и Велько Дмитрашинович (Veljko Dmitrašinović) из Института физики в Белграде нашли 13 новых частных решений для задачи трёх тел, при которых движение системы из трёх одинаковых по массе объектов будет происходить в повторяющемся цикле^[3].

Общий случай

Относительно общего случая Вейерштрасс предложил такую задачу (1885 г., конкурс на премию шведского короля Оскара II):

Пусть дана система произвольного числа материальных точек, взаимодействующих по закону Ньютона. Требуется, в предположении, что не произойдет соударения каких-либо двух точек, представить координаты каждой точки в виде рядов по каким-либо непрерывным функциям времени, равномерно сходящихся для всех действительных значений этой переменной^[4].

Приближённое решение

По всей видимости, сам Вейерштрасс, опираясь на свою знаменитую теорему об аппроксимации произвольной функции полиномами, желал получить выражение для координат тел в виде

${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }P_{n}(t)}$,

где ${\displaystyle P_{n}}$ — некоторые полиномы. Существование таких полиномов сразу следует из непрерывности решения, но найти конструктивный способ отыскания полиномов до сих пор не удалось.

Обсуждение самой возможности ситуации, описанной в задаче Вейерштрасса, привело к ряду важных выводов:

• Если решение задачи трёх тел является голоморфной функцией ${\displaystyle t}$ в интервале ${\displaystyle [0,t_{0})}$ и перестает быть таковым при ${\displaystyle t=t_{0}}$, то при ${\displaystyle t\rightarrow t_{0}-0}$ или все расстояния между телами стремятся к нулю (тройное соударение тел), или одно из них стремится к нулю, а остальные два — к конечным пределам (простое соударение тел). (Пенлеве, 1897)
• Тройное соударение в задаче трёх тел возможно лишь при условии обращения в нуль момента импульса системы и, следовательно, может иметь место лишь при весьма специальных начальных данных. (Ф. А. Слудский, 1874)
• Если момент импульса системы не равен нулю, то существует так называемый регуляризирующий параметр ${\displaystyle s}$, через который можно выразить координаты и время голоморфным образом в окрестности вещественной оси ${\displaystyle s}$. (Зундман, 1912; короткое доказательство дал в 1967 г. Бурде (Burdet)^[5])

Это подтолкнуло Пуанкаре и Зундмана искать решение не в виде функций от ${\displaystyle t}$, а в виде рядов от некоторого параметра. Именно, координаты трёх тел и время являются голоморфными функциями ${\displaystyle s}$ вдоль всей вещественной оси плоскости ${\displaystyle s}$, то есть существует некоторая область, в которой координаты голоморфны. По теореме Римана эту область можно отобразить на круг единичного радиуса ${\displaystyle |v|<1}$, поэтому координаты трёх тел и время можно представить в виде функций параметра ${\displaystyle v}$, голоморфных в круге единичного радиуса. Такие функции представимы в виде сходящегося во всем круге рядов по положительным степеням ${\displaystyle v}$. Эти ряды были найдены Зундманом в 1912, точнее говоря, был найден алгоритм отыскания их коэффициентов. К несчастью, как показал Д. Белорицкий^[6], по крайней мере в случае Лагранжа для нужд вычислительной астрономии в сходящихся рядах Зундмана нужно брать как минимум ${\displaystyle 10^{8\cdot 10^{6}}}$ членов.

Точное решение

Брунс и Пуанкаре доказали, что систему дифференциальных уравнений для движения трёх тел невозможно свести к интегрируемой, разложив её на независимые уравнения. Открытие показало, что динамические системы не изоморфны. Простые интегрируемые системы допускают разложение на невзаимодействующие подсистемы, но в общем случае исключить взаимодействия невозможно.

См. также

• Задача двух тел
• Гравитационная задача N тел
• Майкл Минович

Примечания

Литература

• Алексеев В. М. Лекции по небесной механике. — Ижевск: РХД, 2001. — 156 с.
• Зигель К. Л. Лекции по небесной механике. — М.: ИЛ, 1959. — 300 с.
• Маршал К. Задача трёх тел. — Ижевск: РХД, 2004. — 640 с.
• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.