Закон Снеллиуса

Преломление света на границе двух сред с различным показателем преломления

Преломление света

Закон Снеллиуса (также Снелля или Снелла) описывает преломление света на границе двух прозрачных сред. Также применим и для описания преломления волн другой природы, например, звуковых.

Теоретическое объяснение закона Снеллиуса — см. в статье Преломление.

Закон был открыт в начале XVII века голландским математиком Виллебрордом Снеллиусом^[1]. Несколько позднее опубликован (и, возможно, независимо переоткрыт) Рене Декартом.

Угол падения света на поверхность связан с углом преломления соотношением

n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}

Здесь:

$n_{1}$ — показатель преломления среды, из которой свет падает на границу раздела;
$\theta _{1}$ — угол падения света — угол между падающим на поверхность лучом и нормалью к поверхности;
$n_{2}$ — показатель преломления среды, в которую свет попадает, пройдя границу раздела;
$\theta _{2}$ — угол преломления света — угол между прошедшим через поверхность лучом и нормалью к поверхности.

Вывод закона

Пусть ${\vec {k}}$ лежит в плоскости чертежа. Пусть ось $x$ направлена горизонтально, ось $y$ — вертикально. Из соображений симметрии следует, что ${\vec {k}}$ , ${\vec {k'}}$ и ${\vec {k''}}$ (для падающей, отраженной и преломленной волны, соответственно) должны лежать в одной плоскости.

Выделим из падающего луча плоскополяризованную составляющую, у которой угол между ${\vec {E}}$ и плоскостью произволен. Тогда если выбрать начальную фазу равной нулю, то

$E=E_{m}e^{i(\omega t-{\vec {k}}{\vec {r}})}=E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x-k_{y}y)};$
$E'=E'_{m}e^{i(\omega 't-{\vec {k'}}{\vec {r}})}=E'_{m}e^{i(\omega 't-k'_{x}x-k'_{y}y+\alpha ')};$
$E''=E''_{m}e^{i(\omega ''t-{\vec {k''}}{\vec {r}})}=E''_{m}e^{i(\omega ''t-k''_{x}x-k''_{y}y+\alpha '')}.$

Результирующее поле в первой и второй среде равны соответственно

$E_{1}=E+E'=E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x-k_{y}y)}+E'_{m}e^{i(\omega 't-k'_{x}x-k'_{y}y+\alpha ')};$
$E_{2}=E''=E''_{m}e^{i(\omega ''t-k''_{x}x-k''_{y}y+\alpha '')}.$

Очевидно, что тангенциальные составляющие $E_{1}$ и $E_{2}$ должны быть равны на границе раздела то есть при $y=0.$

Тогда

E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x)}+E'_{m}e^{i(\omega 't-k'_{x}x+\alpha ')}=E''_{m}e^{i(\omega ''t-k''_{x}x+\alpha '')}

Для того, чтобы последнее уравнение выполнялось для всех $t,$ необходимо, чтобы $\omega =\omega '=\omega ''$ , а для того, чтобы оно выполнялось при всех $x,$ необходимо, чтобы

k_{x}=k'_{x}=k''_{x}\Leftrightarrow k\sin {\alpha }=k'\sin {\alpha '}=k''\sin {\alpha ''}\Leftrightarrow {\cfrac {\omega }{v_{1}}}\sin {\alpha }={\cfrac {\omega }{v_{1}}}\sin {\alpha '}={\cfrac {\omega }{v_{2}}}\sin {\alpha ''},

где

v_{1}

и

v_{2}

— скорости волн в первой и второй среде соответственно.

Отсюда следует, что ${\cfrac {\sin {\alpha }}{\sin {\alpha ''}}}={\cfrac {v_{1}}{v_{2}}}=n_{12}\blacksquare$

Если $n_{1}\sin \theta _{1}>n_{2}$ , имеет место полное внутреннее отражение (преломлённый луч отсутствует, падающий луч полностью отражается от границы раздела сред).

Следует заметить, что в случае анизотропных сред (например, кристаллов с низкой симметрией или механически деформированных твердых тел) преломление подчиняется несколько более сложному закону. При этом возможна зависимость направления преломленного луча не только от направления падающего, но и от его поляризации (см. двойное лучепреломление).

Также следует заметить, что закон Снеллиуса не описывает соотношение интенсивностей и поляризаций падающего, преломленного и отраженного лучей, для этого существуют более детальные формулы Френеля.

Закон Снеллиуса хорошо определен для случая «геометрической оптики», то есть в случае, когда длина волны достаточно мала по сравнению с размерами преломляющей поверхности, вообще же говоря работает в рамках приближенного описания, каковым и является геометрическая оптика.

Векторная формула

Пусть $\scriptstyle {\vec {v}}_{1}$ и $\scriptstyle {\vec {v}}_{2}$ лучевые векторы падающего и преломленного световых лучей, то есть векторы, указывающие направления лучей и имеющие длины $\scriptstyle |{\vec {v}}_{1}|=n_{1}$ и $\scriptstyle |{\vec {v}}_{2}|=n_{2}$ , а $\scriptstyle {\vec {n}}$ единичный нормальный вектор к преломляющей поверхности в точке преломления. Тогда

{\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+\left({\sqrt {{\frac {n_{2}^{2}-n_{1}^{2}}{({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {n}})^{2}}}+1}}-1\right)({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}

Примечания

↑ Снеллиус — латинизированная форма оригинальной фамилии Снелл, передающейся чаще как Снелль

Ссылки

Элементы большой науки: Закон Снеллиуса

[1] Снеллиус — латинизированная форма оригинальной фамилии Снелл, передающейся чаще как Снелль

[1]