Квадратриса

Рис. 1. Кинематическое определение квадратрисы

Рис. 2. То же с анимацией

Квадратри́са — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена для решения задач квадратуры круга и трисекции угла.

Определение

Кинематическое определение квадратрисы следующее: рассмотрим квадрат ${\displaystyle ABCD}$ (рис. 1), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка ${\displaystyle E}$ равномерно движется по дуге от точки ${\displaystyle D}$ до точки ${\displaystyle B}$; одновременно отрезок ${\displaystyle A'B'}$ равномерно движется из положения ${\displaystyle DC}$ в положение ${\displaystyle AB}$. Наконец, потребуем, чтобы оба движения начались и закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса ${\displaystyle AE}$ и отрезка ${\displaystyle A'B'}$ опишет квадратрису (рис. 2, выделена красным цветом).

Античные математики предубеждённо относились к кинематическим определениям кривых, считая их недостойными геометрической науки. Поэтому они предложили два других определения, не использующих понятия механического движения; эти определения приведены в сочинениях Паппа Александрийского и представляют квадратрису как проекцию некоторых кривых, связанных с винтовой линией или спиралью Архимеда^[1]. Построения эти довольно сложны и на практике не используются. В Новое время были обнаружены и другие построения, где возникает квадратриса; например, рассмотрим пересечение витка геликоида с плоскостью, содержащей ось этой поверхности. Тогда проекция линии пересечения на плоскость, перпендикулярную оси, представляет собой ветку квадратрисы^[2].

История

Первое упоминание о квадратрисе сделали Папп Александрийский^[3] и Ямвлих в конце III века. Папп дал и подробное описание способов её построения. Кривая открыта, по сообщению Прокла Диадоха, софистом Гиппием в V веке до н. э. и использовалась им для решения задачи трисекции угла. Другой античный геометр, Динострат, провёл в IV веке до н. э. исследование этой кривой и показал, что она обеспечивает также решение задачи квадратуры круга. В источниках данную кривую называют «квадратрисой Динострата» или «квадратрисой Гиппия»^[4].

В Новое время кривую исследовали Роберваль (1636), Ферма, Барроу (1670) и другие известные математики. Декарт посвятил исследованию квадратрисы немало страниц в своей «Геометрии» (1637)^[5]. Ньютон в 1676 году определил длину дуги квадратрисы, её кривизну и площадь её сегмента в виде ряда, а также указал способ проведения касательных^[6].

Уравнения кривой

• В полярных координатах:

${\displaystyle \rho ={\frac {2R}{\pi }}{\frac {\varphi }{\sin \varphi }}.}$

Вывод

Пусть ${\displaystyle R}$ — радиус круга, ${\displaystyle \varphi }$ — текущий угол ${\displaystyle FAG}$, ${\displaystyle \rho =AF}$ — полярный радиус. Для удобства введём время ${\displaystyle t}$, которое за период движения меняется от 0 до 1. Тогда равномерное движение точки ${\displaystyle E}$ по дуге длиной ${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ можно выразить уравнением: ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}\cdot (1-t).}$ Равномерное движение отрезка ${\displaystyle A'B'}$ выражается уравнением: ${\displaystyle A'A=\rho \sin \varphi =(1-t)R}$ Подставляя значение ${\displaystyle 1-t}$ из первого уравнения во второе, получаем окончательно: ${\displaystyle \rho ={\frac {2R\varphi }{\pi \sin \varphi }}.}$

• В прямоугольных координатах:

${\displaystyle x=y\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi y}{2R}}}$

Основное свойство

Уравнение квадратрисы в полярных координатах можно записать в виде:

${\displaystyle \rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi ,}$ или: ${\displaystyle y=k\varphi ,}$

где ${\displaystyle k={\frac {2R}{\pi }}.}$ Отсюда следует основное свойство данной кривой^[7]:

Квадратриса — единственная (невырожденная) кривая в первом координатном квадранте, обладающая таким свойством (это легко доказать, повторив приведённые рассуждения в обратном порядке).

Другие свойства

Площадь сегмента ${\displaystyle ADFG}$ квадратрисы определяется формулой^[2]:

${\displaystyle S={\frac {2R^{2}\ln 2}{\pi }}}$

Применение

Трисекция угла

Трисекция угла, то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть ${\displaystyle EAB}$ (рис. 1) — некоторый угол, треть которого надо построить. Алгоритм деления следующий:

1. Находим точку ${\displaystyle F}$ на квадратрисе и её ординату ${\displaystyle A'}$.
2. Откладываем на отрезке ${\displaystyle AA'}$ его третью часть; получим некоторую точку ${\displaystyle H}$.
3. Находим на квадратрисе точку ${\displaystyle K}$ с ординатой ${\displaystyle H}$.
4. Проводим луч ${\displaystyle AK}$. Угол ${\displaystyle KAB}$ — искомый.

Доказательство данного алгоритма сразу следует из основного свойства квадратрисы. Очевидно также, что аналогичным способом можно разделить угол не только на три, но и на любое другое число частей^[8].

Квадратура круга

Рис. 3. Схема квадратуры круга с помощью квадратрисы

Задача квадратуры круга ставится так: построить квадрат с такой же площадью, как у заданного круга радиуса ${\displaystyle R}$. Алгебраически это означает решение уравнения: ${\displaystyle x^{2}=\pi R^{2}}$.

Построим для исходного круга квадратрису, как на рис. 1. Используя первый замечательный предел, получаем, что абсцисса ${\displaystyle AG}$ её нижней точки (на рис. 3 это отрезок ${\displaystyle AJ}$) равна ${\displaystyle {\frac {2R}{\pi }}}$. Выразим это в виде пропорции: ${\displaystyle C:2R=2R:AG}$, где ${\displaystyle C=2\pi R}$ — длина окружности. Приведённое соотношение позволяет построить отрезок длины ${\displaystyle C}$. Прямоугольник со сторонами ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle C/2}$ будет иметь нужную площадь, а построить равновеликий ему квадрат — дело несложное, см. статью Квадратура (математика) или рис. 3.

Вариации

Помимо рассмотренной выше квадратрисы Динострата, существует ряд иных кривых, которые можно использовать для квадратуры круга, и поэтому также называемых квадратрисами^[2].

• Квадратриса Чирнгауза (или Чирнгаузена), аффинная обычной синусоиде^[9]:

${\displaystyle y=a\sin {\frac {\pi x}{2a}}}$

• Квадратриса Озанама:

${\displaystyle x=2a\sin ^{2}{\frac {y}{2a}}}$

• Кохлеоида^[9] с полярным уравнением ${\displaystyle \rho =a{\frac {\sin \varphi }{\varphi }}}$.

Рис. 4. График «полной» квадратрисы при R=1

Кроме того, ряд авторов предпочитают поменять местами x и y в уравнении квадратрисы Динострата^[10]:

${\displaystyle y=x\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi x}{2R}}}$

Этот вариант (полная квадратриса) имеет то преимущество, что функция ${\displaystyle y(x)}$ определена на всей вещественной оси, кроме особых точек ${\displaystyle \pm 2R,\pm 4R,\pm 6R\dots }$ (В точке ${\displaystyle x=0}$ функция ${\displaystyle y(x)}$ доопределяется предельным переходом; см. её график при ${\displaystyle R=1}$ на рис. 4.) В полярных координатах центральная ветка данного варианта кривой описывается формулой^[10]:

${\displaystyle \rho ={\frac {R}{\pi }}\cdot {\frac {\pi -2\varphi }{\cos \varphi }}}$

Данная кривая имеет бесконечное число ветвей, для которых вертикальные прямые в особых точках являются асимптотами. Точки кривой с ординатой ${\displaystyle y={\frac {2R}{\pi }}}$ (за исключением точки на оси ординат) являются точками перегиба^[10].

См. также

• Динострат
• Квадратура круга
• Трисекция угла

Примечания

Литература

• Жуков А. В. «О числе π». М.: МЦНМО, 2002 г., 32 с ISBN 5-94057-030-5
• Прасолов В. В. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. — М.: Наука, 1992. — 80 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 62).
• Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата // Историко-математические исследования. СПб.: Изд-во Международного фонда истории науки. Вып. 35 (1994). С. 220—229.
• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения (справочное руководство). — М.: Физматлит, 1960. — С. 227—230. — 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
• Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963. — С. 33—37. — 96 с.
• Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. — 2008. — № 4 (48). — С. 3—15.
• Щетников А. И. Квадратриса Гиппия и ее связь с задачами о трисекции угла и о квадратуре круга // Труды VIII Международных Колмоrоровских чтений. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2010. — С. 392—396. — ISBN 978-5-87555-630-2.

Ссылки

• Quadratrix of Hippias at the MacTutor archive.  (англ.)
• Quadratrix of Hippias at Convergence.  (англ.)

Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии.