Ковёр Серпинского

Ковёр (квадрат) Серпинского

Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским.

Построение

Итеративный метод

6 итераций построения ковра Серпинского.

Квадрат ${\displaystyle Q_{0}}$ делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата ${\displaystyle Q_{0}}$ удаляется внутренность центрального квадрата. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество ${\displaystyle Q_{1}}$, состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

${\displaystyle Q_{0}\supset Q_{1}\supset \dots \supset Q_{n}\supset \dots ,}$

пересечение членов которой есть ковер Серпинского.

Метод хаоса

Имеется викиучебник по теме
«Ковёр Серпинского»

1. Задаются координаты 8 точек-аттракторов. Ими являются вершины и середины сторон исходного квадрата ${\displaystyle Q_{0}}$.

2. Вероятностное пространство ${\displaystyle (0;1)}$ разбивается на 8 равных частей, каждая из которых соответствует одному аттрактору.

3. Задаётся некоторая начальная точка ${\displaystyle P_{0}}$, лежащая внутри квадрата ${\displaystyle Q_{0}}$.

4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству ковра Серпинского.

1. Генерируется случайное число ${\displaystyle n\in (0;1)}$.

2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.

3. Строится точка ${\displaystyle P_{i}}$ с новыми координатами: ${\displaystyle x_{i}={\frac {x_{i-1}+2x_{A}}{3}};y_{i}={\frac {y_{i-1}+2y_{A}}{3}}}$,

где: ${\displaystyle x_{i-1},y_{i-1}}$ — координаты предыдущей точки ${\displaystyle P_{i}}$; ${\displaystyle x_{A},y_{A}}$ — координаты активной точки-аттрактора.

5. Возврат к началу цикла.

Свойства

• Ковёр Серпинского представляет собой частный случай многоугольного множества Серпинского. Он состоит из 8 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3.
• Ковер Серпинского замкнут.
• Ковер Серпинского имеет топологическую размерность 1.
• Ковер Серпинского имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность ${\displaystyle \ln 8/\ln 3\approx 1,89}$. В частности,
  • имеет нулевую меру Лебега.
• Если гиперболическая группа имеет одномерную границу и при этом не является полупрямым произведением, то её граница гомеоморфна ковру Серпинского.

Ссылки

• Ковёр Серпинского: тематические медиафайлы на Викискладе
• Variations on the Theme of Tremas II  (англ.)
• Печенье с рисунком-фракталом  (англ.)
• Ковёр Серпинского на сайте FractalWorld