Кривая Ферма

Кривая Ферма — алгебраическая кривая на комплексной проективной плоскости, определяемая в однородных координатах (X:Y:Z) уравнением Ферма

${\displaystyle X^{n}+Y^{n}=Z^{n}.\ }$

Применительно к евклидовой плоскости уравнение имеет вид

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1.\ }$

Целочисленное решение уравнения Ферма соответствует ненулевому рациональному решению евклидова уравнения и наоборот. Согласно теореме Ферма при n ≥ 3 не существует нетривиальных целочисленных решений уравнения Ферма, поэтому кривая Ферма не имеет ненулевых рациональных точек.

Кривая Ферма несингулярна (англ.)русск. и имеет род

${\displaystyle (n-1)(n-2)/2.\ }$

Таким образом, кривая Ферма имеет род 0 для n = 2 (и является коническим сечением) и род 1 для n = 3 (и является эллиптической кривой). Якобиево многообразие (англ.)русск. кривой Ферма глубоко изучено. Оно изоморфно произведению простых абелевых многообразий с комплексным умножением (англ.)русск..

Существует обобщение кривой Ферма на большее число измерений; в этом случае уравнения, аналогичные уравнению кривой Ферма, определяют проективное многообразие, называемое многообразием Ферма.

Ссылки

• Gross, Benedict H. & Rohrlich, David E. (1978), "Some Results on the Mordell-Weil Group of the Jacobian of the Fermat Curve", Inventiones Mathematicae Т. 44 (3): 201–224, doi:10.1007/BF01403161, <http://www.kryakin.com/files/Invent_mat_%282_8%29/44/44_01.pdf>. Проверено 12 января 2012. .