Кубический сплайн

Кубический сплайн — функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых она совпадает с некоторым кубическим многочленом (полиномом).

Описание

Функция ${\displaystyle f(x)}$задана на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, разбитом на части ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$, ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N}=b}$. Кубическим сплайном дефекта 1 (разность между степенью и гладкостью сплайна) называется функция ${\displaystyle S(x)}$, которая:

• на каждом отрезке ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ является многочленом степени не выше третьей;
• имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке ${\displaystyle [a,b]}$;
• в точках ${\displaystyle x_{i}}$ выполняется равенство ${\displaystyle S(x_{i})=f(x_{i})}$, т. е. сплайн ${\displaystyle S(x)}$ интерполирует функцию ${\displaystyle f}$в точках ${\displaystyle x_{i}}$.

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить дополнительные требования — граничные условия:

1. "Естественный сплайн" — граничные условия вида: ${\displaystyle S''(a)=S''(b)=0}$;
2. Непрерывность второй производной — граничные условия вида: ${\displaystyle S'''(a)=S'''(b)=0}$;
3. Периодический сплайн — граничные условия вида: ${\displaystyle S'''(a)=S'''(b)}$и ${\displaystyle S''(a)=S''(b)}$.

Теорема: Для любой функции ${\displaystyle f}$ и любого разбиения отрезка ${\displaystyle [a,b]}$на части ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$существует ровно один естественный сплайн ${\displaystyle S_{i}(x)}$, удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

Эта теорема является следствием более общей теоремы Шёнберга-Уитни об условиях существования интерполяционного сплайна.

Построение

На каждом отрезке ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ функция ${\displaystyle S(x)}$ есть полином третьей степени ${\displaystyle S_{i}(x)}$, коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства ${\displaystyle S_{i}(x)}$ в виде:

${\displaystyle S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i}}(x-x_{i})^{2}+{d_{i}}(x-x_{i})^{3}}$

тогда

${\displaystyle S_{i}\left(x_{i}\right)=a_{i},\quad S'_{i}(x_{i})=b_{i},\quad S''_{i}(x_{i})=c_{i}}$

Условия непрерывности всех производных до второго порядка включительно записываются в виде
${\displaystyle S_{i}\left(x_{i-1}\right)=S_{i-1}(x_{i-1})}$
${\displaystyle S'_{i}\left(x_{i-1}\right)=S'_{i-1}(x_{i-1})}$
${\displaystyle S''_{i}\left(x_{i-1}\right)=S''_{i-1}(x_{i-1})}$
а условия интерполяции в виде

${\displaystyle S_{i}\left(x_{i}\right)=f(x_{i})}$

Обозначим${\displaystyle :\quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1},\quad f_{i}=f(x_{i})}$

Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов "Естественного сплайна":

${\displaystyle a_{i}=f(x_{i})}$;

${\displaystyle d_{i-1}={\frac {c_{i}-c_{i-1}}{3\cdot h_{i-1}}}}$;

${\displaystyle b_{i}={\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i-1}}}+{\frac {2\cdot c_{i}+c_{i-1}}{3}}\cdot h_{i-1}}$;

${\displaystyle c_{i-1}\cdot h_{i-1}+2\cdot c_{i}\cdot (h_{i}+h_{i-1})+c_{i+1}\cdot h_{i}=3\cdot \left({\frac {a_{i+1}-a_{i}}{h_{i}}}-{\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i-1}}}\right)}$;

причем ${\displaystyle c_{N}=S''(x_{N})=0}$ и ${\displaystyle c_{1}-d_{1}\cdot h_{1}=S''(x_{0})=0}$.

Если учесть, что ${\displaystyle c_{0}=c_{N}=0}$, то вычисление ${\displaystyle c}$ можно провести с помощью метода прогонки для трёхдиагональной матрицы.

Компьютерный код

Cubic Interpolation: C#-библиотека с открытым исходным кодом кубической интерполяции сплайном по алгоритму, изложенному Carl de Boor в своей книге. Автор: Вадим А. Онучин, Valex Corp. ^[1]

Примечания

Литература

1. de Boor, Carl. A Practical Guide to Splines. — New York: Springer-Verlag, 1978.
2. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.
3. Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам.
4. Волков Е. А. Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. — С. 63-68. — 248 с.

Ссылки

• Интерполяция кубическими сплайнами на JavaScript (рус.)