Медиана треугольника

Треугольник и его медианы.

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Свойства

Основное свойство

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника

• В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой.
• Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.
• У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Свойства оснований медиан

Окружность девяти точек

• Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
• Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
  • Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.

Другие свойства

• Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
• Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
• Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
• Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
• Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.

Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида

• Трилинейная поляра центроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).

Основные соотношения

• Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

${\displaystyle m_{c}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}}}$

где ${\displaystyle m_{c}}$ — медиана к стороне ${\displaystyle c}$; ${\displaystyle a,b,c}$ — стороны треугольника.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$.

• Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

${\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {2(m_{b}^{2}+m_{c}^{2})-m_{a}^{2}}}}$,

где ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}$ медианы к соответствующим сторонам треугольника, ${\displaystyle a,b,c}$ — стороны треугольника.

• Площадь любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

${\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}},}$

где ${\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2}$ — полусумма длин медиан.

См. также

В Викисловаре есть статья «медиана»

• Инцентр
• Симедиана
• Центроид
• Чевиана
• Биссектриса

Литература

• Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника, 1902 год.