Моносплайн

Моносплайн — вид сплайна, сконструированный из степенной функции ${\displaystyle x^{m}}$ и полиномиального сплайна степени ${\displaystyle m-1}$, получивший распространение в задачах поиска наилучших квадратурных формул для дифференцируемых функций^[1] и ряде других приложений; считаются удобными для компьютерных реализаций^[2].

Формально, для заданного целого числа ${\displaystyle m}$, множества узлов ${\displaystyle \Delta =(x_{1}<x_{2}<\dots <x_{k})}$ и вектора гладкости ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=(m_{1},\dots ,m_{k})}$ (${\displaystyle 1\leqslant m_{i}\leqslant m}$ для всех ${\displaystyle i=1,\dots ,k}$), класс моносплайнов степени ${\displaystyle m}$ определяется как^[3]:

${\displaystyle {\mathcal {MS}}(P_{m-1},{\mathfrak {M}},\Delta )=\left\{{\frac {x^{m}}{m!}}+s(x)\mid s\in {\mathcal {S}}(P_{m-1},{\mathfrak {M}},\Delta )\right\}}$,

где ${\displaystyle {\mathcal {S}}(P_{m-1},M,\Delta )}$ — класс полиномиальных сплайнов степени ${\displaystyle m-1}$ над множеством узлов ${\displaystyle \Delta }$ и вектором гладкости ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ (что означает равенство в ${\displaystyle i}$-м узле производных стыкующихся многочленов вплоть до ${\displaystyle m_{i}}$-й степени включительно).

Многие свойства моносплайнов наследуются от полиномиальных сплайнов, в частности, для них имеет место следующий результат: если ${\displaystyle f}$ — моносплайн класса ${\displaystyle {\mathcal {MS}}(P_{m-1},{\mathfrak {M}},\Delta )}$, то его правосторонняя производная ${\displaystyle f'_{+}}$ — моносплайн класса ${\displaystyle {\mathcal {MS}}(P_{m-2},{\mathfrak {M}}',\Delta )}$, где ${\displaystyle {\mathfrak {M}}'=\{\min(m_{1},m-2),\dots ,\min(m_{k},m-2)\}}$. Для переноса ряда свойств с полиномиальных сплайнов на моносплайны разработаны специальные техники, в частности, для определения кратности нулей^[4].

Пространство моносплайнов ${\displaystyle {\mathcal {MS}}(P_{m-1},{\mathfrak {M}},\Delta )}$ выпукло, при этом не является линейным (в отличие от пространств полиномиальных сплайнов).

Примечания

Литература

• Larry L. Schumaker. Spline Functions: Basic Theory. — 3^rd Edition. — N. Y.: Cambridge University Press, 2007. — 582 с. — (Cambridge Mathematica Library). — ISBN 978-0-521-70512-7.
• Н. П. Корейчук, В. Ф. Бабенко, А. А. Лигун. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. — Киев: Наукова думка, 1992. — ISBN 5-12-002210-3.
• Моносплайн — статья из Математической энциклопедии. Ю. Я. Субботин