Нуль функции

Нули косинуса на интервале [-2π,2π] (красные точки)

Нуль функции в математике — элемент из области определения функции, в котором она принимает нулевое значение. Например, для функции ${\displaystyle f}$, заданной формулой

${\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+9\,.}$

${\displaystyle x=3}$ является нулём, поскольку

${\displaystyle f(3)=3^{2}-6\cdot 3+9=0}$.

Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры.

Для функции действительного переменного ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс.

Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона, градиентные методы).

Одной из нерешённых математических проблем является нахождение нулей дзета-функции Римана.

Корень многочлена

Задача нахождения нулей квадратного трёхчлена привела к появлению понятия комплексных чисел.

Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени n имеет n комплексных корней, учитывая их кратность. Комплексные корни всегда входят сопряжёнными парами. Каждый многочлен нечётной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Связь между корнями многочлена и его коэффициентами устанавливает теорема Виета.

Комплексный анализ

Простой нуль аналитической в некоторой области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ функции ${\displaystyle f}$ — точка ${\displaystyle z_{0}\in G}$, в некоторой окрестности которой справедливо представление ${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})g(z)}$, где ${\displaystyle g}$ аналитична в ${\displaystyle z_{0}}$ и не обращается в этой точке в нуль.

Нуль порядка ${\displaystyle k}$ аналитической в некоторой области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ функции ${\displaystyle f}$ — точка ${\displaystyle z_{0}\in G}$, в некоторой окрестности которой справедливо представление ${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z)}$, где ${\displaystyle g}$ аналитична в ${\displaystyle z_{0}}$ и не обращается в этой точке в нуль.

Нули аналитической функции изолированы.

Другие специфические свойства нулей комплексных функций выражаются в различных теоремах:

• теорема Руше,
• теорема Мардена,
• Теорема Гаусса — Люка

Литература

• Нуль функции — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Weisstein, Eric W. Root (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.