Подера

улитка Паскаля — подера окружности

Подера (фр. podaire, от греч. πόυς, род. пад. ποδος — нога) кривой ${\displaystyle \gamma }$ относительно точки ${\displaystyle P}$ — множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки ${\displaystyle P}$ на касательные к кривой ${\displaystyle \gamma }$.

Примеры

Лемниската Бута — подера эллипса.
Здесь a=2 b=1, уравнение 4x²+y²=(x²+y²)²

• Улитка Паскаля — подера окружности.
• Подера параболы
  • относительно её фокуса — прямая,
  • относительно вершины — циссоида.
• Подера эллипса
  • относительно его фокуса — окружность,
  • относительно центра эллипса — лемниската Бута.

Уравнения

Для параметрически заданной кривой ${\displaystyle (x(t),\;y(t))}$ подера ${\displaystyle (X(t),\;Y(t))}$ относительно точки ${\displaystyle (0,\;0)}$ задаётся уравнениями

${\displaystyle X={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$

${\displaystyle Y={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$

В общем случае, относительно точки ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$, уравнения будут такими:

${\displaystyle X={\frac {x_{0}x'^{2}+xy'^{2}+(y_{0}-y)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$

${\displaystyle Y={\frac {y_{0}y'^{2}+yx'^{2}+(x_{0}-x)x'y'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$

Связанные определения

• Антиподерой кривой ${\displaystyle \gamma }$ относительно точки ${\displaystyle P}$ называется кривая, подера которой относительно точки ${\displaystyle P}$ есть ${\displaystyle \gamma }$.
  • Например, парабола есть антиподера прямой.
• Подера поверхности относительно точки ${\displaystyle P}$ — множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки ${\displaystyle P}$ на касательные плоскости поверхности.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Pedal Curve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.