Правило Лопиталя

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя^[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида ${\displaystyle 0/0}$ и ${\displaystyle \infty /\infty }$. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка

Теорема Лопиталя:

Если:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}{g(x)}=0}$ или ${\displaystyle \infty }$;
2. ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ дифференцируемы в окрестности ${\displaystyle a}$;
3. ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ в окрестности ${\displaystyle a}$;
4. существует ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$,

то существует ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$.

Пределы также могут быть односторонними.

История

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.^[2]

Примеры

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+5}{3}}={\frac {5}{3}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1}$
  Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Нужно разделить и числитель, и знаменатель на ${\displaystyle x}$ в наибольшей степени(в нашем случае ${\displaystyle x^{3}}$). В этом примере получается:

  ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{a}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots =\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a!}}=+\infty }$ — применение правила ${\displaystyle a}$ раз;
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{a}}{\ln {x}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {ax^{a-1}}{\frac {1}{x}}}=a\cdot \lim _{x\to +\infty }{x^{a}}=+\infty }$ при ${\displaystyle a>0}$.

В искусстве

…и рассказывали анекдоты о раскрытии неопределенностей методом Лопиталя

Братья Стругацкие, «Понедельник начинается в субботу».

А также песня группы «Научно-технический рэп» — «Правило Лопиталя».

Примечания