Сетка Аполлония

Пример сетки Аполлония

Сетка Аполлония — фрактал, строящийся по трём попарно касающимся окружностям. Представляет собой предельное множество всевозможных последовательностей окружностей, каждая из которых касается трёх уже построенных. Назван в честь греческого математика Аполлония Пергского.

Построение

Начнём с трех окружностей, каждая из которых является касательной к двум другим. Далее добавляем к имеющейся фигуре рекурсивно окружности, каждая из которых касается каких-нибудь трёх уже построенных окружностей. На первом шаге мы добавим две, на втором шесть, и так далее.

Продолжая построение, мы добавляем 2·3ⁿ новых окружностей на n-ом шаге.

Замыкание построенных окружностей называется сеткой Аполлония.

Свойства

Сетка Аполлония имеет Хаусдорфову размерность около 1.3057^[1].
Сетку Аполлония можно представить как объединение двух подмножеств, гомеоморфных треугольнику Серпинского, с общими вершинами.
Подгруппа группы преобразований Мёбиуса, состоящая из таких преобразований, которые переводят сетку Аполлония в себя, действует транзитивно на окружностях сетки.
Сетку Апполония можно определить как предельное множество группы преобразований плоскости образованной инверсиями в четырёх попарно касательных окружностях.

Кривизны

Кривизна окружности определяется как обратное к его радиусу.

Отрицательная кривизна указывает на то, что все другие круги касаются эту окружность изнутри. Это ограничивающая окружность.
Нулевая кривизна дает линию (круг с бесконечным радиусом).
Положительная кривизна указывает на то, что все другие круги касаются эту окружность снаружи. Этот круг находится внутри круга с отрицательной кривизной.

В сетке Аполлония все окружности имеют положительную кривизну, кроме одной, ограничивающей окружности.

Целые сетки Аполлония

Предположим, $a,b,c,d$ обозначают кривизны четырёх попарно касающихся окружностей. По теореме Декарта:

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}={\tfrac {1}{2}}\cdot (a+b+c+d)^{2}

Отсюда следует, что если четыре попарно касающиеся окружности имеют целые кривизны, то и все остальные окружности в их сетке Аполлония имеют целые кривизны. Имеется бесконечно много таких целых сеток. ^[2] Ниже приведены несколько целых сеток с отмеченными кривизнами окружностей.