Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта

Пусть ${\displaystyle L}$ — алгебра Ли над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ - её базис в векторном пространстве ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle (U,\alpha )}$ - универсальная обёртывающая алгебра для ${\displaystyle L}$. Тогда элементы ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle \alpha (x_{i_{1}})\cdot \ldots \cdot \alpha (x_{i_{s}})(s\geqslant 1,i_{1}\leqslant ...\leqslant i_{s})}$ образуют базис в линейном пространстве ${\displaystyle U}$. В частности, отображение ${\displaystyle \alpha }$ является вложением ${\displaystyle L}$ в ${\displaystyle U}$, то есть ядро отображения ${\displaystyle \alpha }$ равно ${\displaystyle (0)}$. ^[1][2]