Тождество четырёх квадратов — большая энциклопедия. Что такое Тождество четырёх квадратов

Тождество четырёх квадратов


Материал из свободной энциклопедии

Тождество Эйлера о четырёх квадратах — математическая теорема о том, что

произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.

Действительно:

Тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца, однако если и  — действительные числа, тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей:

.

Аналогичные тождества

  • «тождество одного квадрата»
означает, что модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей сомножителей:
,
означает, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей:
,

Во всех этих случаях итоговые функции (чья сумма квадратов и равна произведению квадратов исходных сумм) есть билинейные функции исходных переменных.

Однако аналогичного «тождества шестнадцати квадратов» нет. Зато есть схожая (для квадратов при любом натуральном N) существенно иная форма, уже лишь для рациональных функции исходных переменных — по теореме А. Пфистера.[1]

История

Тождество было выведено Эйлером в 1750 году. Это было сделано почти за 100 лет до появления кватернионов.

Тождество Эйлера было использовано Лагранжем в доказательстве его теоремы о сумме четырёх квадратов.

См. также

Примечания

  1. См., например: В. В. Прасолов. Многочлены Гл.7 (п.23.2)

О сайте infor24.ru Наш сайт является неофициальным ресурсом, который несет людям знания. Он открыт и бесплатен для любого пользователя. Сайт infor24.ru - большая статейная библиотека со статьями на различные тематики для всех и каждого.

Основа этой страницы находится в Вики. Текст доступен по официальной лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License.

Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. infor24.ru является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation). Сайт infor24.ru является неофициальным сайтом.

E-mail: admin@infor24.ru