Циссоида

В геометрии циссоида — это кривая, созданная из двух заданных кривых C₁, C₂ относительно точки O (полюса). Пусть L — прямая, проходящая через O и пересекающая C₁ в точке P₁, а C₂ — в точке P₂. Пусть P — точка на L такая, что OP = P₁P₂ (на самом деле имеются две таких точки, но P выбирается так, что P находится в том же направлении от O, что и P₂ от P₁). Множество таких точек P называется циссоидой кривых C₁, C₂ относительно O.

Слегка отличные, но, в сущности, эквивалентные определения можно встретить у различных авторов. Например, P может быть определена такой точкой, что OP = OP₁ + OP₂. Это определение эквивалентно приведённому, если C₁ заменить её отражением относительно O. Также можно определить P как середину P₁ и P₂. Эта кривая совпадает с кривой из предыдущего определения с коэффициентом подобия 1/2.

Слово «циссоида» пришло из греческого языка — kissoeidēs «подобный плющу» — от kissos «плющ» и oeidēs «подобный».

Уравнения

Если C₁ и C₂ заданы в полярных координатах функциями ${\displaystyle r=f_{1}(\theta )}$ и ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )}$ соответственно, то уравнение ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )}$ задаёт циссоиду C₁ и C₂ относительно начала координат. Однако точка может быть представлена различными способами в полярных координатах, так что могут существовать другие ветки циссоиды с другими уравнениями. В частности, C₁ можно задать как

${\displaystyle r=-f_{1}(\theta +\pi ),\ r=-f_{1}(\theta -\pi ),\ r=f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$.

Таким образом, циссоида — это объединение кривых, заданных уравнениями

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta +\pi ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta -\pi ),\ }$

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$.

Часть из этих уравнений приведут к повторению кривых и могут быть исключены.

Например, пусть C₁ и C₂ — это эллипсы

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}}$.

Первая ветвь циссоиды задаётся уравнением

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}-{\frac {1}{2-\cos \theta }}=0}$,

то есть, эта ветвь является одной точкой — началом координат. Эллипс также задаётся уравнением

${\displaystyle r={\frac {-1}{2+\cos \theta }}}$,

так что вторая ветвь циссоиды задаётся уравнением:${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}+{\frac {1}{2+\cos \theta }}}$, и эта кривая имеет форму овала.

Если C₁ и C₂ заданы параметрическими уравнениями

${\displaystyle x=f_{1}(p),\ y=px}$

и

${\displaystyle x=f_{2}(p),\ y=px}$,

то циссоида относительно начала координат задаётся уравнением:${\displaystyle x=f_{2}(p)-f_{1}(p),\ y=px}$.

Специальные случаи

Если C₁ является окружностью с центром в точке O, то циссоида является конхоидой кривой C₂.

Если C₁ и C₂ — две параллельные прямые, то их циссоида — третья прямая, параллельная этим двум.

Гиперболы

Пусть C₁ и C₂ — две непараллельные прямые и пусть O — начало координат. Пусть C₁ и C₂ задаются в полярных координатах уравнениями

${\displaystyle r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}}$

и

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}}$.

Мы можем повернуть на угол ${\displaystyle (\alpha _{1}-\alpha 2)/2}$ так, что можем предположить, что ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha }$. Тогда циссоида C₁ и C₂ относительно начала координат задаётся уравнением

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )}}-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )}}}$

${\displaystyle ={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\theta -\alpha )}}}$

${\displaystyle ={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}}$.

Обозначив константные выражения, получим

${\displaystyle r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

что в декартовых координатах превращается в

${\displaystyle x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy}$.

Эта формула задаёт гиперболу, проходящую через начало координат. Таким образом, циссоида двух непараллельных прямых является гиперболой, проходящей через полюс. Похожие рассуждения показывают, в обратную сторону, что любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на гиперболе.

Циссоиды Зарадника

Циссоида Зарадника (названа по имени Карела Зарадника^[en]) определяется как циссоида конического сечения и прямой относительно любой точки на сечении. Эти циссоиды образуют широкое семейство рациональных кубических кривых, среди которых некоторые хорошо известны. В частности:

• Трисектриса Маклорена, задаваемая формулой

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$

является циссоидой окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$ относительно начала координат.

• Правая строфоида

${\displaystyle y^{2}(a+x)=x^{2}(a-x)}$

является циссоидой окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x=-a}$ относительно начала координат.

• Циссоида Диокла

${\displaystyle x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0}$

является циссоидой окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x=-2a}$ относительно начала координат. Фактически это кривая, по которой семейство названо и некоторые авторы ссылаются на неё просто как на циссоиду.

• Циссоида окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x=ka}$, где k — параметр. Циссоиду называют конхоидой Слюза (эти кривые не являются реальными конхоидами). Это семейство включает в себя предыдущие примеры.

• Декартов лист

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$

является циссоидой эллипса ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)}$ и прямой ${\displaystyle x+y=-a}$ относительно начала координат. Чтобы это показать заметим, что прямую можно задать как

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}},\ y=px}$,

а эллипс можно задать как

${\displaystyle x=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=px}$.

Так что циссоида задаётся уравнением

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{1+p^{3}}},\ y=px}$

и это уравнение является параметрической форой листа.

Смотрите также

• Конхоида
• Строфоида

Литература

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — С. 53—56. — ISBN 0-486-60288-5.
• Michiel Hazewinkel. Encyclopedia of Mathematics. — Springer, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Cissoid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• C. A. Nelson "Note on rational plane cubics" Bull. Amer. Math. Soc. Volume 32, Number 1 (1926), 71—76.
• 2D Curves
• "Courbe Cissoïdale" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском)
• "Cissoïdales de Zahradnik" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском)