Эвольвента окружности

Эвольвентой окружности является траектория любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. По эвольвенте обрабатывают профиль зубьев зубчатых колёс. Эвольвенту окружности можно получить, сматывая натянутую нить с цилиндрической поверхности. Конец этой нити будет описывать эвольвенту.

Параметрические уравнения эвольвенты окружности ^[1]:

${\displaystyle x=r\cos \phi +r\phi \sin \phi \,\!;}$
${\displaystyle y=r\sin \phi -r\phi \cos \phi \,\!,}$

где ${\displaystyle r}$ — радиус окружности; ${\displaystyle \phi }$ — угол поворота радиуса окружности (полярный угол точки касания прямой и окружности).

Натуральное уравнение эвольвенты окружности, т.е. зависимость кривизны от длины дуги, имеет вид: ${\displaystyle k(s)={\frac {1}{\sqrt {2rs}}}.}$

Построение эвольвенты окружности по заданному диаметру

Имеется окружность диаметра ${\displaystyle d}$ с центром в точке ${\displaystyle O}$. Данную окружность делим на двенадцать равных частей. В точках 2, 3, 4, … проводим касательные к окружности, направленные в одну сторону. Точки эвольвенты находим исходя из того, что при развёртывании окружности точка ${\displaystyle B^{2}}$ должна отстоять от точки 2 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 2, а точка ${\displaystyle B^{3}}$ должна отстоять от точки 3 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 3 (две длины предыдущей дуги), и т. д.

Точное положение точек эвольвенты получим, откладывая по касательным длины соответствующих дуг. Длину дуги между точками 1 и 2 определяем по формуле ${\displaystyle a={\frac {\pi d}{m}},}$ где ${\displaystyle d}$ — диаметр окружности, ${\displaystyle m}$ — число частей, на которое разделена окружность.

Получив ряд точек эвольвенты, соединяем их плавной линией.

В данном случае окружность диаметра ${\displaystyle d}$ является эволютой к этой эвольвенте.

Эвольвента окружности

Вариации и обобщение

Для эллипса тоже существует эвольвента, которая является алгебраической кривой^[2].

См. также

• Эвольвента
• Эвольвентное зацепление
• Зубчатая передача

Ссылки и примечания

Литература

1. Богданов В. Н., Малежик И. Ф., Верхола А. П. и др. Справочное руководство по черчению. — М.: Машиностроение, 1989. — С. 438-480. — 864 с. — ISBN 5-217-00403-7.