Эпициклоида

Эпицикло́ида (от др.-греч. ὲπί — на, над, при и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения.

Уравнения

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен ${\displaystyle R}$, радиус катящейся по ней окружности равен ${\displaystyle r}$, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle {\begin{cases}x=(R+r)\cos \varphi +r\cos(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\\y=(R+r)\sin \varphi +r\sin(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}}$

где ${\displaystyle \alpha }$ — угол поворота точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра подвижной окружности в момент начала движения (против часовой стрелки от оси x), ${\displaystyle \varphi }$ — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси ${\displaystyle OX}$.

Можно ввести величину ${\displaystyle \textstyle k={\frac {R}{r}}}$, тогда уравнения предстанут в виде

${\displaystyle {\begin{cases}x=r(k+1)\left(\cos \varphi -{\frac {\cos((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\\y=r(k+1)\left(\sin \varphi -{\frac {\sin((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\end{cases}}}$

Величина ${\displaystyle k}$ определяет форму эпициклоиды. При ${\displaystyle k=1}$ эпициклоида образует кардиоиду, а при ${\displaystyle k=2}$ — нефроиду. Если ${\displaystyle k}$ — несократимая дробь вида ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ (${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$), то ${\displaystyle m}$ — это количество каспов данной эпициклоиды, а ${\displaystyle n}$ — количество полных вращений катящейся окружности. Если ${\displaystyle k}$ иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.

• Эпициклоиды при разных значениях параметра k:
• 

  ${\displaystyle k=1}$ (кардиоида)

• 

  ${\displaystyle k=2}$ (нефроида)

• 

  ${\displaystyle k=3}$

• 

  ${\displaystyle k={\frac {3}{4}}}$

• 

  ${\displaystyle k={\frac {1}{3}}}$

• 

  ${\displaystyle k=0.5={\frac {1}{2}}}$

• 

  ${\displaystyle k=2.1={\frac {21}{10}}}$

• 

  ${\displaystyle k=3.8={\frac {19}{5}}}$

• 

  ${\displaystyle k=5.5={\frac {11}{2}}}$

• 

  ${\displaystyle k=7.2={\frac {36}{5}}}$

См. также

• Циклоида
• Гипоциклоида
• Эпитрохоида