Якобиан

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определитель матрицы Якоби:

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{n} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{n} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{n} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}}$

для векторной функции ${\displaystyle \mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,n,}$ имеющей в некоторой точке ${\displaystyle x}$ все частные производные первого порядка (определитель Якоби или якобиан системы функций ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$).

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель.^{[источник не указан 3257 дней]} По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю^[1].

• Часто используются следующие обозначения якобиана:

${\displaystyle {\frac {D(u_{1},\dots ,u_{n})}{D(x_{1},\dots ,x_{n})}}}$ ,или ${\displaystyle {\frac {\partial (u_{1},\dots ,u_{n})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}}$

Геометрическая интерпретация

Если функции ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\ldots ,{\tilde {x}}_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ определяют преобразование координат ${\displaystyle x_{i}\rightarrow {\tilde {x}}_{j}}$, то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов^[2] «элементарных параллелепипедов», натянутых на ${\displaystyle d{\tilde {x}}_{1},d{\tilde {x}}_{2},\dots ,d{\tilde {x}}_{n}}$ и на ${\displaystyle dx_{1},dx_{2},\dots ,dx_{n}}$ при равенстве произведений ${\displaystyle d{\tilde {x}}_{1}d{\tilde {x}}_{2}\dots d{\tilde {x}}_{n}=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$.

Применение

• Якобиан часто применяется при анализе неявных функций
• Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом.
• Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат ${\displaystyle {\tilde {x}}_{j}\rightarrow x_{i}}$ преобразуется как

  ${\displaystyle \int \limits _{\tilde {\Omega }}f({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},\dots ,{\tilde {x}}_{n})d{\tilde {x}}_{1}d{\tilde {x}}_{2}\dots d{\tilde {x}}_{n}=}$

  ${\displaystyle =\int \limits _{\Omega }f({\tilde {x}}_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),{\tilde {x}}_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,{\tilde {x}}_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})){\bigg |}{\frac {D({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},\dots ,{\tilde {x}}_{n})}{D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}{\bigg |}dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$

  (формула замены переменных в n-мерном интеграле).

Примеры

Пример 1. Переход элементарной площади ${\displaystyle \mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$ от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, φ):

${\displaystyle x=r\,\cos \phi }$

${\displaystyle y=r\,\sin \phi .}$

Матрица Якоби имеет следующий вид

${\displaystyle {\hat {I}}(r,\phi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \phi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-r\,\sin \phi \\\sin \phi &r\,\cos \phi \end{bmatrix}}.}$

А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:

${\displaystyle J(r,\phi )=\det {\hat {I}}(r,\phi )=\det {\begin{bmatrix}\cos \phi &-r\,\sin \phi \\\sin \phi &r\,\cos \phi \end{bmatrix}}=r.}$

Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=J(r,\phi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi =r\,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi }$

Пример 2. Переход элементарного объёма ${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}$ от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) :

${\displaystyle x=r\,\sin \theta \,\cos \phi }$

${\displaystyle y=r\,\sin \theta \,\sin \phi }$

${\displaystyle z=r\,\cos \theta .}$

Матрица Якоби имеет следующий вид

${\displaystyle {\hat {I}}(r,\theta ,\phi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \phi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &r\,\cos \theta \,\cos \phi &-r\,\sin \theta \,\sin \phi \\\sin \theta \,\sin \phi &r\,\cos \theta \,\sin \phi &r\,\sin \theta \,\cos \phi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}$

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:

${\displaystyle J(r,\theta ,\phi )=\det {\hat {I}}(r,\theta ,\phi )=\det {\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &r\,\cos \theta \,\cos \phi &-r\,\sin \theta \,\sin \phi \\\sin \theta \,\sin \phi &r\,\cos \theta \,\sin \phi &r\,\sin \theta \,\cos \phi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}=r^{2}\sin \theta .}$

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\phi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$

Примечания

Ссылки

Применение в физике

• Вывод формулы Майера с применением техники Якобиана