Улитка Паскаля

Три улитки Паскаля, конхоиды чёрной окружности: зелёная ${\displaystyle a>\ell }$, красная (кардиоида) ${\displaystyle a=\ell }$ и синяя ${\displaystyle a<\ell }$

Анимация подеры окружности

Улитка Паскаля ― плоская кривая определённого типа. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Уравнения

Уравнение в прямоугольных координатах:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+ay)^{2}=\ell ^{2}(x^{2}+y^{2})}$

в полярных координатах:

${\displaystyle \rho =\ell -a\sin \phi .}$

Параметрическое:

${\displaystyle x=2R\cdot \cos(t)-h\cdot \cos(2t)}$

${\displaystyle y=2R\cdot \sin(t)-h\cdot \sin(2t)}$

Здесь a — диаметр исходной окружности, а l — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора (см. конхоида).

При этом начало координат является

• узловой точкой при ${\displaystyle a>\ell }$.
• точкой возврата при ${\displaystyle a=\ell }$ (в этом случае Улитка Паскаля называется кардиоидой).
• двойной точкой при ${\displaystyle a<\ell }$.

В случае ${\displaystyle \ell ={\frac {a}{2}}}$ улитка Паскаля также называется трисектри́са (также триссектри́са). Такое название она получила из за того, что если на плоскости задана трисектриса, то трисекцию угла можно построить с помощью циркуля и линейки. Уравнение трисектрисы:

${\displaystyle z=b(e^{it}+e^{2it})=be^{3it \over 2}(e^{it \over 2}+e^{-it \over 2})=2b\cos {t \over 2}e^{3it \over 2}}$,

В полярных координатах:

${\displaystyle r=2b\cos {\theta \over 3}}$

Построение улитки Паскаля.

Свойства

• Улитка Паскаля является плоской алгебраической кривой 4-го порядка.
• Улитка Паскаля является обобщением кардиоиды
• Улитка Паскаля является подерой окружности.
• Улитка Паскаля является конхоидой окружности относительно точки на окружности.
• Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала.
• Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды.
• Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой.
• Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода.
• Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:

  ${\displaystyle S={\frac {\pi a^{2}}{2}}+\pi \ell ^{2}}$

при ${\displaystyle a>\ell }$ площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.

Литература

• Улитка Паскаля // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 188-189. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).